\begin{array}{lll}
\psi^\prime(t)&=&A\frac{\phi(t)-H_2}{H_{ex}-H_2}+B ,& t_{ex}\le{}t\lt{}t_2\\
\phi(t)&=&H_{ex}-\int^t_{t_{ex}}{\psi^\prime(t)dt} ,& t_{ex}\le{}t\lt{}t_2
\end{array}
已知， \phi(t_{ex})=H_{ex} ，且 \phi(t_{2})=H_{2} ，求 \psi{}(t) 。
请问这个问题可以解吗，能否提供一下思路？
思路：
将第一个式子用 \phi{(t)} 表示并代入第二个式子可得：
H_2+\frac{\psi^\prime{}(t)-B}{A}(H_{ex}-H_2)=
H_{ex}-\int^t_{t_{ex}}{\psi{}^\prime{}(t)dt}
对上式求导可得：
\frac{H_{ex}-H_2}{A}\psi^{\prime\prime}(t)=
-\psi^{\prime}(t)
令 \omega(t)=\psi^\prime{}(t) ，可将上面的二阶微分方程降阶为一阶线性微分方程：
\omega^\prime{}(t)+\frac{A}{H_{ex}-H_2}\omega{(t)}=0
该一阶线性微分方程的通解为：
\omega{(t)}=C_1e^{ \frac{A}{H_{ex}-H_{2}}(t_{ex}-t) }
因为 \omega(t_{ex})=\psi^\prime{}(t_{ex})=A+B ，所以 C_1 = A+B ，对上式积分可得：
\psi{(t)}=(A+B)e^{\frac{At_{ex}}{H_{ex}-H_2}}
\frac{H_2-H_{ex}}{A}
e^{\frac{-At}{H_{ex}-H_2}}+C_2