数值风云

【求助】解定积分方程时遇到困难

\begin{array}{lll} \psi^\prime(t)&=&A\frac{\phi(t)-H_2}{H_{ex}-H_2}+B ,& t_{ex}\le{}t\lt{}t_2\\ \phi(t)&=&H_{ex}-\int^t_{t_{ex}}{\psi^\prime(t)dt} ,& t_{ex}\le{}t\lt{}t_2 \end{array}

已知, \phi(t_{ex})=H_{ex} ,且 \phi(t_{2})=H_{2} ,求 \psi{}(t)

请问这个问题可以解吗,能否提供一下思路?

思路:

将第一个式子用 \phi{(t)} 表示并代入第二个式子可得:

H_2+\frac{\psi^\prime{}(t)-B}{A}(H_{ex}-H_2)= H_{ex}-\int^t_{t_{ex}}{\psi{}^\prime{}(t)dt}

对上式求导可得:

\frac{H_{ex}-H_2}{A}\psi^{\prime\prime}(t)= -\psi^{\prime}(t)

\omega(t)=\psi^\prime{}(t) ,可将上面的二阶微分方程降阶为一阶线性微分方程:

\omega^\prime{}(t)+\frac{A}{H_{ex}-H_2}\omega{(t)}=0

该一阶线性微分方程的通解为:

\omega{(t)}=C_1e^{ \frac{A}{H_{ex}-H_{2}}(t_{ex}-t) }

因为 \omega(t_{ex})=\psi^\prime{}(t_{ex})=A+B ,所以 C_1 = A+B ,对上式积分可得:

\psi{(t)}=(A+B)e^{\frac{At_{ex}}{H_{ex}-H_2}} \frac{H_2-H_{ex}}{A} e^{\frac{-At}{H_{ex}-H_2}}+C_2